Matemática Discreta

La matemática

Matemática Discreta. Parte de la Matemática encargada del estudio de los conjuntos discretos y las formalizaciones que dependen de éstos.

La clave en matemáticas discretas es que no es posible manejar, al igual que en el cálculo, las ideas de proximidad o límite y suavidad en las curvas. Por ejemplo, en matemáticas discretas una incógnita puede ser 2 o 3, pero nunca te aproximarás a 3 por la izquierda con 2.9, 2.99, 2.999, etc. Las gráficas en matemáticas discretas vienen dadas por un conjunto finito de puntos que puedes contar por separado, mientras que las gráficas en cálculo son trazos continuos de rectas o curvas.

La idea clave del cálculo es el límite y su entorno son los números reales. Sus variables son continuas o analógicas.

La idea clave en matemáticas discretas es el conjunto numerable y su entorno son los números enteros. (Los naturales son un subconjunto de los enteros). Sus variables son discretas o digitales.

La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal, o logística,1​ es parte tanto de la lógica como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.

Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez. Denominadas a través de letras minúsculas, las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la falsedad de su enunciado.

Enunciado. m. Conjunto de palabras con las que se expone o plantea un problema matemático o cualquier cuestión: no resolví el ejercicio porque no entendí 

1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS

Las proposiciones simples o atómicas son proposiciones que ya no pueden descomponerse en

dos expresiones que sean proposiciones. 

Ejemplos de proposiciones simples o atómicas:

1. La ballena es roja

2. La raíz cuadrada de 16 es 4

3. Gustavo es alto

4. Teresa va a la escuela

1.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES

Las proposiciones en las que aparecen las partículas gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo si. Se les llama Proposiciones Compuestas o Moleculares.

Ejemplos de proposiciones compuestas:

1. La ballena no es roja

2. Gustavo no es alto

3. Teresa va a la escuela o María es inteligente

4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10

5. El 1 es el primer número primo y es mayor que cero

6. El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10 

7. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen

8. Si corro rápido entonces llegaré temprano

9. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa

10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho

 Conectivos lógicos: negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional.

A continuación se da una tabla en la que se da la expresión gramatical y el nombre del conectivo que representa:

Para simbolizar cualquier proposición es necesario saber cómo se simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras mayúsculas: 7 A, B, C, … , X, Y, Z El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente:  

NEGACION

define la negación de p como la proposición p¬ que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa

cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden

efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se

componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de

verdad de la negación es la siguiente:

Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en la clase de álgebra, entonces ¬p es no estamos en la clase de álgebra.

Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su

negación dese ser una proposición que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe

expresar exactamente lo contrario a lo que expresa p.

Ejemplo 3: Consideremos la proposición q: “Todoslos perros son blancos”. No debe confundirse la

negación con decir algo diferente, por ejemplo… r:”Algunos perros son blancos”. La proposición r no es la negación de q, puesto que si q es verdadera también r lo es. Si decimos s: “Ningún perro es

blanco”, tampoco s es la negación de q, puesto que si existiera un único perro de color blanco y los

demás fueran marrones, entonces tanto q como s

serían proposiciones falsas.

La negación de q puede ser enunciada de la

siguiente manera:

¬q: “Algunos perros no son blancos”. Así, si q es verdadera, claramente ¬q es falsa, mientras que si

¬q es verdadera, resulta ser falsa q.

CONJUNCION

 Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y q". Así por ejemplo, la proposición compuesta Palmira tiene montañas y ríos es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposición Palmira tiene montañas y tiene mar. Esta proposición es falsa porque Palmira no tiene mar.

Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el

gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas

aves vuelan y el gato es un ave”, que es

obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por

otro lado la proposición p ∧ ¬ q que dice “algunas

aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera

pues es la conjunción de las proposiciones

verdaderas.

DISYUNCIÓN

 Es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyunción de dos proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

La disyunción de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva,

también llamada el “ o inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente.

Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si prueban tres parciales o si aprueban o si aprueban

dos parciales y tienen un 80% de asistencia”.eneste caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera

de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero or ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se os dice que tenemos como postre “helado o flan”normalmente no significa que podamos pedir ambos,  siendo en este caso la disyunción exclusiva.

Condicional

Implica dos proposiciones conectadas por ‘si….entonces…’.

EJEMPLO:

“Si llueve, entonces las calles están mojadas.”

Siguiendo la convención lógica de representar las proposiciones con letras enunciativas, tenemos:

P =”Si llueve.”

Q =”Las calles están mojadas .”

Y si, además, reemplazamos ‘si….entonces…’ con el símbolo para la implicación:’–>’

La implicación, arriba señalada, podría simbolizarse así:(P –> Q)

El componente al izquierda de ‘–>’ se llama el antecedente, y el componente a la derecha de ‘>’ se llama el consiguiente.

Una implicación unicamente es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consiguiente falso. En los demás casos es verdadera.

Bicondicional:

También llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado como ssi o sii), es una proposición de la forma “P si y solo si Q” y afirma que la proposición P será cuando y exclusivamente Q también lo sea, así como también Pserá falsa cuando Q lo sea. Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

En un sistema de lógica proposicional, una interpretación es una asignación de valores de verdad (verdadero o falso) a cada una de las fórmulas atómicas bajo consideración. ... Una tautología es una fórmula bien formada que resulta verdadera bajo todas las interpretaciones posibles de sus fórmulas atómicos.

En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.

CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores