Historia de las matemáticas

Historia de la matemática

Matemática o Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).

Hacia mediados del siglo XIX la matemática se empezó a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las matemáticas más antiguas

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado y llegaban a un valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10(véase Matemática en Babilonia).

China y las matemáticas

Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables.

La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica.

Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador.

Dieron por sentada la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación

La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada.

Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad.

Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a_o .

El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde.

Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.

Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.

Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones.

Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado).

Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m yn cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal.

Debido a que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número es lo que hoy se denomina número irracional). En razón de este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga.

Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua.

Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.

Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.

Las matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos.

A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento de 71°, de 0° a 180°.

En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de 1° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.

Las matemáticas en la edad media

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

La India y las matemáticas

Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico.

 Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal.

Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).

 La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales.

Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x²=1+ay², denominada ecuación de Pelt.

Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

Los árabes y las matemáticas

Los números que llamamos árabes no son árabes sino hindúes; pero la mayoría de la gente cree, erróneamente, que los números que utiliza son árabes.

Tampoco las cifras que utilizamos son originales de los árabes: si se observa la grafía hindú del siglo VI se puede comprobar que es muy similar a la nuestra.

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras".

Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos.

El sistema hindú era, al contrario del griego o romano, de carácter "posicional". Lo que significa que las cifras tiene diferente valor según el lugar que ocupan. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.

Para los romanos V era siempre cinco estuviera colocado en una posición o en otra (V I I= 5+1+1=7; VI = 5+1=6), mientras que para nosotros, y mucho antes para los hindúes, en el número 511 el cinco vale quinientos mientras que en el 51 vale cincuenta. Esta idea que hoy nos puede parecer tan elemental los grandes matemáticos griegos no la tuvieron y sin embargo se tiene constancia de que en el siglo VI los hindúes no sólo la utilizaban en su sistema de numeración sino que además manejaban con soltura las cuatro reglas y el cero.

El gran  mérito atribuible, pues, a los árabes es el de haberse dado cuenta de las ventajas que el sistema hindú tenía sobre todos los demás.

Cuando se habla de matemática árabe no se suele tener en cuenta, además, que muchos de los científicos de los que se habla eran persas, judíos e incluso cristianos.

En el siglo XII, el matemático persa Omar Khayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior.

El más conocido de los matemáticos árabes es Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), conodido como padre del álgebra.

Se sabe poco de su vida salvo que vivió en la primera mitad del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa de Bagdad.

Escribió libros sobre geografía, astronomía y matemática. En su obra Aritmética ("Algoritmi de numero indorum") explica con detalle el funcionamiento del sistema decimal y del cero que usaban en la India. Obra de gran importancia pues contribuyó a la difusión del sistema de numeración indio y al conocimiento del cero.

Debe destacarse la obra de contenido algebráico "Hisab al-yabr wa'l muqqabala", considerada uno de los primeros libros de álgebra. Obra eminentemente didáctica con abundantes problemas para resolver y adiestrar al lector, principalmente, en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Es el autor de uno de los métodos más antiguos que se conocen para resolver ecuaciones de segundo grado. Dicho método, geométrico, se conoce como de completar cuadrado.

Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.

Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones.

Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Las matemáticas durante el renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna.

Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Avances en el siglo XVII

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an+bn=cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó).

El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639.

Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.

Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval.

Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Situación en el siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva.

Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo.

La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

Las matemáticas en el siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real.

Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un resorte —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia.

A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.

Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como "enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta.

Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai.

Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra.

A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock.

Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann.

Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie.

En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor.

El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas; es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es).

Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema

Finalidad de las Matemáticas.

La finalidad fundamental de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo del razonamiento y la abstracción, así como su carácter instrumental.

Las matemáticas están vinculadas a los avances que la civilización ha ido alcanzando y contribuyen al desarrollo y a la formalización de las Ciencias Experimentales y Sociales.

Por otra parte, el lenguaje matemático, es un instrumento eficaz que nos ayuda a comprender mejor la realidad que nos rodea y adaptamos a un entorno cotidiano en continua evolución. En consecuencia, el aprendizaje de las matemáticas proporciona la oportunidad de descubrir las posibilidades de nuestro propio entendimiento y afianzar nuestra personalidad, además de un fondo cultural necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para acceder a otras ramas de la ciencia.

La resolución de problemas debe contemplarse como una práctica habitual, que no puede tratarse de forma aislada, sino integrada en todas y cada una de las facetas que conforman el proceso de enseñanza y aprendizaje.

El ciudadano del siglo XXI no podrá ignorar el funcionamiento de una calculadora, con el fin de poder servirse de ella, pero debe dársele un trato racional que evite su indefensión ante la necesidad, por ejemplo, de realizar un cálculo sencillo mentalmente. El uso indiscriminado de la calculadora en los primeros años de la vida de las personas impedirá que los alumnos adquieran las destrezas de cálculo básicas que necesitan en cursos posteriores. Por otra parte, la calculadora y ciertos programas informáticos, resultan ser recursos investigadores de primer orden en el análisis de propiedades y relaciones numéricas y gráficas y en este sentido debe potenciarse su empleo.

OBJETIVOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.

1. Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la actividad humana.

2. Aplicar adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situaciones de la vida diaria.

3. Utilizar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarse de manera clara, concisa, precisa y rigurosa.

4. Utilizar con sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en la aplicaciones instrumentales de las Matemáticas.

5. Resolver problemas matemáticos utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos, desde la intuición hasta los algoritmos.

6. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo físico que nos rodea.

7. Utilizar los métodos y procedimientos estadísticos y probabilísticos para obtener conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la información.

8. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de discernimientos que el alumno debe adquirir a lo largo de su educación.

Henri Poincaré 
nacionalidad: Francés 
Gran hecho: Inventó el topología algebraica en el siglo 19 

Despues de el, pasó se a clasificar sólidos imaginários como cubos, esperas o cones por medio de teoremas. Com el topología algebraica es posible demonstrar, por ejemplo, como una copa es el deformación de el mitad de un aro. 

Euclides 
Nacionalidad: Grego 
Gran hecho: Fundamentó la geometría en el siglo 3 a.c. 

Su libro Elementos, con los fundamientos de la geometría clasica, ainda es lechura obligatória entre matematicos. En la obra de 23 siglos detrás estan compilados sus axiomas - verdades logicas que valen hacia hoy. Un ejemlo de axioma es : " puede se hacer una reta ligando dos puntos. 

La obra pirma de Euclides es su segundo libro mas traduzido de la historia, detrás tan solamente de el biblía. 

Al-Khwarizmi 
Nacionalidad: Persa. 
Gran Hecho; Creó las bases teóricas para la algebra moderna en el siglo 8. 

El fundamientó la matemática ocidental, Su obra descreve metodos para resolver equaciones lineares y quadraticas, como enseñan el la escuela hacia hoy. 

El italiano Fibonacci llevó los conocimientos de Khwarizmi para Europa, diseminando los numerales arabicos y algarismos de 0 hacia 9 para representalos. 

Sir Isaac Newton 
Nacionalidad; Inglés 
Gran echo: Crió el calculo en el siglo 17 

Responsable por avanzos cientificos que cambiaran la humanidad, como la leye de la gravitación universal, Newton también era un matematico notable, considerado un de los inventores del calculo- disciplina avanzada de la matematica, enseñada en cursos superiores especificos. Sin el calculo no seria posible medir con precizión el vlolumen de objectos curvos o calcular la velocidad de objectos en aceleración 

Évariste Galois 
Nacionalidad: Francés 
Gran Hecho; Creó las estructuras algebriacas en el siglo 19. 

Rebelde y genial, es lo unico matematico cuya la obra no tiene errores, quizá por ser muy corta. Su trabajo principal fue en polinomios y estructuras algebraicas, lo que llevo a solucionar problemas matematicos abiertos desde la antiguidad. 

Espertos creem que si no tuviera morido a los 21 años- en un duelo- seria el numero un de nostra cola. 

Carl Gauss 
Nacionalidad: Alemán 
Gran hecho: Más completo matemático de la primera mitad del siglo 19 
El "principe de los matematicos" publicó, a los 21, su obra prima sobre teoria de los numeros. Morió a los 77 años como mayor generalista matematico, contribuyendo en areas como estatica, analise, geometría diferencial y geodesia, para citar pocos. 

El extinto billete de diez marcos alemon, tenia un photo de Gauss con una de sus inventos: la curva de Gauss, que para siempre aparesce en graficos estatisticos. 

Leonad Euler 

Suizo Revolucionó casi toda la matematica en el siglo 18. 
Sus casi 800 libros cementaron campos que serian estudiados futuramente, como topología, y revolucionó casi todos los que ya estuvierón en voga. como calculos y funciones. A solucionar un problema que tenia siete puentes que ligavan 2 islas en la ciudad de Koningsberg, antigua Prussia, fundó la teoria dos grafos, que posibilitó el sugimiento de la topologia y es usada hoy, por ejemplo, para hacer tablas del capeonato brasileño. 

Euler quedó se ciego a los 50 años y pasó sus textos a su hijo, Muchos matematicos avaliamque su trabajo quedo más rico despues que perdió la visón. 

Georg Cantor

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de lateoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de losracionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.

Laplace 

Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 - París; 5 de marzo de 1827) astrónomo, físico y matemáticofrancés que inventó y desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Fue un creyente del determinismo causal.

Pitagoras 

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Afirmaba que todo es matemáticas, y estudió y clasificó los números.

ALBERT EINSTEIN:

La imagen más conocida del mítico Einstein lo presenta ya anciano, aureolado por una melena leonina, con el blanco bigote muy poblado, los ojos bondadosos y profundos, un cómodo jersey excesivamente ancho, viejos zapatos que usaba siempre sin calcetines y un pantalón arrugado que sostenía a veces por medio de una corbata atada a la cintura a la manera de cinturón. Era extraordinariamente amable con todos y sus colegas reconocían que "incluso cuando discute cuestiones de física teórica irradia buen humor, afecto y bondad". Siempre vivió con suma modestia. Durante su último período en Princenton, siendo ya afamado Premio Nobel de Física de 1921, salía invariablemente todas las mañanas a las diez y media, enfundando en un añoso abrigo deforme y, en invierno, tocado por un gorro de lana de marinero, para llegar a su espacioso despacho, cuya ventana miraba a un agradable bosquecillo, y pasarse el tiempo escribiendo en una libreta que apoyaba sobre sus rodillas. En ocasiones se detenía a reflexionar mientras sus dedos jugaban a ensortijarse con mechones del pelo. Todo su equipo de investigación se reducía a ese aislamiento amable, a ese papel y a ese lápiz, su laboratorio no era otro que su bien amueblado cerebro.
UN ESTUDIANTE MEDIOCRE El destino de Einstein fue paradójico. Activo pacifista, vivió para ver cómo su teoría de la relatividad permitía la fabricación de la mortífera bomba atómica; enemigo de la publicidad y de la fama, fue perseguido por los expertos en publicidad para que patrocinase desde callicidas hasta modernos automóviles; gran defensor de la libertad individual, fue calificado de bolchevique por unos y de instrumento del capitalismo simbolizado por Wall Street por otros; científico independiente apenas interesado por la política práctica, llegaron a ofrecerle la presidencia de un estado, el naciente Estado de Israel. Lo cierto es que fue un hombre tímido y humilde, pero no huraño, aunque las fotografías que lo retratan de niño muestren a las claras el aislamiento en que vivió precozmente recogido. Nació el 14 de marzo de 1879, en Ulm, Alemania, en el seno de una familia hebrea. Muy pronto pasó a Munich, donde su padre, Hermann, regentaba una pequeña empresa de electricidad. Su madre, llamada Pauline Koch, era una hábil pianista y poseía una educación esmerada. De crío, Albert se apartaba de sus compañeros y los maestros lo juzgaban un inadaptado. En casa solía componer alguna melodía al piano que luego tarareaba por la calle. Estudiante mediocre, fracasó en los exámenes de ingreso en el Politécnico de Zurich, pese a que logró salvarlos en la segunda intentona. Al final de su carrera, sobre una puntuación máxima de 6 puntos, obtuvo 4,91. Por otra parte, su tesis doctoral, un trabajo de 29 páginas titulado "Una nueva determinación de las dimensiones moleculares", fue evaluado por el tribunal examinador como irrelevante. Por aquel tiempo tenía la costumbre de pasearse con un viejo violín con el que interpretaba a menudo fragmentos de su compositor preferido, Mozart, y frecuentaba el rincón de un café donde pasaba largas horas solo y ensimismado, fumando siempre en pipa, como un Sherlock Holmes infatigable que resolvería mentalmente enigmas de física teórica.

Importancia de las matematicas 

La importancia de las matemáticas existe porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podríamos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las matemáticas constantemente, en la escuela, en la oficina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo.

No sé si les habrá pasado, pero resulta duro eso de ir por la calle y no tener ni idea de lo que ponen los letreros de las calles. Bueno, el de Coca Cola sí lo entendía. Cuando quería comprar algo, ponía cara de interrogante, hacía el símbolo universal del cuánto cuesta con el dedo pulgar y el índice y les pasaba un papel y una pluma para que apuntaran el precio. Una comida más que decente eran unos ciento cincuenta mil cupones ucranianos, unas cuatrocientas pesetas al cambio.

La moraleja de esta anécdota es que las personas nos damos cuenta de la importancia de las matemáticas, que aunque no sepamos muchos idiomas, hay uno universal: las matemáticas. Todo el mundo entiende los números. Con respecto a esto, hay una curiosa anécdota referida a uno de los químicos más importantes de este siglo: Josiah Willard Gibbs. 

Te contaré otra historia de la importancia de las matemáticas, Gibbs era un silencioso y retraído miembro de la comunidad universitaria de la prestigiosa universidad de Yale. Sobre él se dice que durante los treinta años que estuvo allí sólo pronunció un discurso. Cuentan que su impenitente silencio lo rompió durante una acalorada discusión de café acerca de qué disciplina, las lenguas clásicas, las lenguas modernas o la ciencia, entrenaba mejor a la mente. Gibbs, con su habitual parsimonia, se levantó y dijo: «Señores, las matemáticas son un lenguaje». Y volvió a sentarse. 
Ciertamente las matemáticas son un lenguaje. Y un lenguaje universal. Por eso los científicos son capaces de comunicarse entre sí aunque no comprendan el idioma con quien comparten su información. 

Pero lo más misterioso de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea. Por eso hablamos de la importancia de las matemáticas. El lenguaje con el que se expresa la naturaleza es el de las matemáticas y quien quiera leer ese libro debe aprenderlas. 

"Nunca consideres el estudio como un deber, sino como una oportunidad para penetrar en el maravilloso mundo del saber"

                                                                                                Albert Einstein

En mi experiencia como pedagoga y como docente de adolescentes  he visto gran dificultad, miedo o conflicto con las matemáticas, y el índice de reprobación es muy alto en esta área.

Siempre me he preguntado que pasa y me regalaron  un artículo en algún momento de mi vida, no sabría decirles quien lo escribió pero se me hizo muy bueno y claro y me gustaría compartirlo con todos los suscritores de Redem.

Espero que les sirva para poder enseñar a los jóvenes actuales y quitarles el miedo a las matemáticas.

Matemafobo

Un matemafobo es una persona que le tiene fobia a las matemáticas. Como dicen las señoras, "no las pueden ver ni en pintura".

Una proporción importante de nuestros estudiantes son en mayor o menor grado matemafobos.

El matemafobo está plena-mente convencida que los genes matemáticos existen. Puede leer una novela de corrido, pero no es capaz de mantener su concentración en un texto técnico durante más de dos minutos.

Si es cierto que el mate-mafobo piensa que los genes matemáticos existen y si sus padres son matemafobos, entonces no hay solución; el pobre muchacho estará convencido desde pequeño que no nació para las matemáticas.

La fobia a las matemáticas no es una enfermedad genética. Los padres no tienen más que aceptar que su hijo no nació para las matemáticas y que por consiguiente, en vez de ser ingeniero o economista va a ser abogado o médico.

¡Qué se le va a hacer!

Los genes matemáticos

Los genes matemáticos no existen. Ésta es una posición filosófica particular con respecto a las capacidades del individuo, que surge de la posición según la cual -desde el punto de vista biológico- todos somos iguales mentalmente en el momento de nuestro nacimiento, y nuestras capacidades y prejuicios son consecuencia de nuestro desarrollo como personas.

Se necesita mesa para estudiar. Los métodos de estudio tradicionales e intuitivos que pueden funcionar para materias diferentes a matemáticas no son efectivos en este caso.

El estudio de un texto de matemáticas requiere de varias lecturas. Todo texto de este tipo involucra conceptos que representan los objetos matemáticos sobre los cuales "habla" el discurso en cuestión. Al menos que se conozca el significado de estos conceptos es imposible comprender el significado del discurso. Algunos de los conceptos son conocidos y en muchos casos cada texto trae otros nuevos. Por consiguiente es necesario conocer (y sobre todo comprender el significado de cada uno de estos nuevos conceptos).

Por otra parte, en la mayoría de los casos el texto también involucra resultados. Los resultados son afirmaciones acerca de los objetos matemáticos representados por los conceptos. Estos resultados son el conjunto de afirmaciones verdaderas acerca de estos objetos. Cada uno de los resultados tiene una justificación. Para la mayoría de los cursos de matemáticas es necesario re-producir estas justificaciones.

En tercera instancia, los textos presentan técnicas. Las técnicas se refieren en general, a maneras de resolver problemas. Las técnicas no aparecen de la nada, son consecuencia lógica tanto de los conceptos como de los resultados que se han presentado en el discurso. Nos muestran la forma práctica en que podemos utilizar los conceptos y los resultados y, por consiguiente, dependen directamente de ellos.

El cuarto elemento son los ejemplos. En los ejemplos, el texto presenta instancias particulares, ya sea de los conceptos que se han introducido o de las técnicas por medio de las cuales se pueden resolver problemas. Y finalmente, los ejercicios.

Hoja de borrador. Para estudiar matemáticas hay que estudiar escribiendo, y, para escribir, se hace necesario lápiz y papel.

La hoja de borrador es una que se tira a la basura al final de la sesión. En ella escribimos los conceptos involucrados en el texto, los resultados que allí se presentan y el desarrollo que nosotros hacemos de los ejemplos presentados.

Como vamos a leer varias veces el texto, la hoja de borrador contendrá varias "versiones" de nuestra aproximación y comprensión del mismo.

Al estudiar matemáticas los factores que juegan en el discurso son numerosos y variados. Nuestra mente no puede, desde la primera lectura, retenerlos todos al mismo tiempo y la hoja de borrador nos permite escribirlos y hacer referencia a ellos cada vez que los necesitamos. Pero además, la hoja de borrador es trascendental, puesto que los discursos matemáticos son en general, encadenamientos de afirmaciones que se deducen unos de otros y es difícil retener en un mismo instante todos y cada uno de los pasos que vamos generando de estos encadenamientos.

Es gracias a la hoja de borrador que nosotros podemos identificar los conceptos, claves y técnicas que, al no estar explícitos en el texto, nos dificultan su comprensión.

Materiales para estudiar

Estudiar, comprender y apropiarse de un texto de matemáticas requiere de todo un proceso por parte del alumno. Los propósitos "finales" de éste son:

Ser capaz de reproducir la esencia del discurso.

Ser capaz de resolver los ejercicios.

Existen otros elementos o materiales de estudio cuya necesidad se hace patente a partir del proceso que se ha expuesto.

Por una parte está el diccionario. Éste debe ser una especie de cuaderno, puesto que será un material que se irá construyendo a lo largo de todo el curso. En él el estudiante debe ir apuntando cada uno de los conceptos que aparecen en el curso junto con su significado. Como todo diccionario, le servirá de referencia para asegurarse que conoce y comprende el significado de un concepto específico.

Por otra parte se tiene el formulario. Éste debe ser una sección del mismo cuaderno, donde el estudiante lleve la lista de los resultados que se han visto en el curso hasta el momento.

Resolución de problemas

En la resolución de problemas generalmente a los alumnos se les dificulta el plantearlos y resolverlos; aquí se dan algunas ideas que les pueden ayudar:

Hacerse las preguntas.

Escribir las preguntas.

Escribir las respuestas.

Diseñar una estrategia.

Escribir una estrategia.

Comprobar las respuestas.

Preguntas particulares.

¿Qué me dan?

¿Qué me piden?

¿Puedo hacer un dibujo?

Cómo Estudiar Matemáticas

1. Práctica, Práctica y Más Práctica

Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando. Para aprender matemáticas hay que ponerse el mono de trabajo y lanzarse a hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus particularidades y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen. Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar matemáticas de esta lista.

2. Revisa los Errores

Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos. De esta manera, evitarás cometer los mismos fallos en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus fallos y repasarlos repetidamente antes del examen.

3. Domina los Conceptos Clave

¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos problemas de memoria sin entenderlos. Es cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.

Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras las fórmulas matemáticas esenciales.

4. Consulta tus Dudas

Ppuede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema y pasar al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema.

Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto a algún compañero con el que consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos. Asimismo, recuerda plantearle al profesor las dudas que tengas, ya sea en clase o en una tutoría.

5. Crea un Ambiente de Estudio sin Distracciones

Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos.

Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración. Eso sí, deja de lado Pitbull y Eminem, la música instrumental es lo más recomendable en estas ocasiones.

6. Crea un Diccionario Matemático

La asignatura de matemáticas tiene una jerga específica con muchas vocabulario propio. Te sugerimos que crees unos apuntes o fichas de estudio con todos los conceptos que vas aprendiendo y su significado, para que puedas consultarlos en cualquier momento y no te sientas perdido entre tanta palabrería.