geometría analítica

Ejercicios resueltos de la Recta

1.    Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º.

SOLUCION: Graficamos

La ecuación de la recta se busca por medio de la siguiente expresión;

 Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto dado. Como conocemos el punto P(4,-1) podemos calcular dicha recta, pero también es necesario determinar el valor de la pendiente m,  la cual calcularemos de la siguiente forma:

m= Tg (135º); donde m= -1

Sustituimos los valores en la expresión y obtenemos;

Y- (-1)= -1(X-4);

 Y+1= -X+4;

Y =  - X -  3

En forma implícita

X + Y – 3 = 0

2.    Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela a la recta determinada por los dos puntos (0, - 2) y (5, 2) .

SOLUCION:

Como se conoce un punto de la recta requerida, solamente es necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la misma que la de la recta paralela L1 que pasa por los dos puntos (0. - 2). (5, 2)

La pendiente de L1 es, =

La ecuación de la recta a utilizar

Y- 1= (X+3)

4 x - 5 y + 1 7 = 0

3.    Observa las siguientes ecuaciones:

x = –3 + 3t

y = 2t

Comprobar que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que están todos sobre una recta ¿Qué método está aplicando para trazar la recta?

Solución:

El método a aplicar es el de Tabulación.

Es por ello que tabulamos los valores dados de t y sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos las coordenadas de cada uno de ellos:

Ejemplo:

Para t=0

 

x = –3 + 3(0)=  -3 

y = 2(0)= 0                  (-3, 0)

Aplicando el mismo procedimiento para cada uno de los valores dados de t, obtenemos la siguiente información:

t	0	1	3	4	5
(x,y)	(-3, 0)	(0,2)	(6,6)	(9,8)	(12,10)

Graficamos los valores:

Por medio de la gráfica podemos demostrar que los puntos obtenidos si están todos sobre una misma recta.

4.    Halla la ecuación implícita de la recta:

 

x = 5 – 3t

y = –1 + 2t

Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:

2x = 10 – 6t

3y = –3 + 6t

___________

2x + 3y = 7

La ecuación implícita es: 2x+3y -7 = 0

5.    Hallar la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos      (–7, 11), (1, 7)

Solución:

Por medio de los puntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente y obtenemos que:

 m= -1/2

Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, y obtenemos:

• Tomamos el punto (1,7)

y - 7= -1/2 (x-1)              y-7 = -1/2x +1/2               y= -1/2x +15/2

en forma implícita tenemos: x + 2y – 15 = 0

6.    Hallar dos puntos de la recta y = –3x + 4 y Calcular a partir de ellos su pendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación.

Solución:

Damos valores arbitrarios a x y obtenemos:

Si x = 0 → y = 4 → punto A (0, 4)

Si x = 1 → y = 1 → punto B (1, 1)

Calculando la pendiente con los puntos calculados anteriormente se tiene que

m = –3

Efectivamente, podemos comprobar que la pendiente es la de la recta dada

 y = –3x + 4.

7.    Hallar la distancia de Q(–3, 4) a la siguiente recta: 2x + 3y = 4

Solución: Aplicando la ecuación de la distancia ya conocida obtenemos que;

(igualamos a cero la ecuación)                   2x + 3y – 4 = 0          r

d(Q, r ) = (2√13)/13  ≈ 0,55

La distancia entre el punto Q (-3,4) y la ecuación llamada r, es de aproximadamente 0, 55.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicios de la Recta

1. Dibujar la recta con ecuación y = 4/5X +3.

2. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto.

3. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados.

4. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A(1,2) y C(2,5). Obtener las  ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la diagonal.

5. Trazar la recta de  siguiente ecuación implícita: 3 x + 5 y - 15 = 0

6. Hallar el punto de intersección de las rectas:

 

6 x - 5 y = - 27

8 x + 7 y = 5

7. Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y=mx+5, para que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones y = -3x- 5, y = 4x + 2.

8. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 x + 9 y - 27 = 0 .

9. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, -5) y es paralela a la recta  y = - 2/3x + 9

10. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: y = 2/3x + 1

11. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,10) y forma un ángulo de 45° con la recta y = 3/2x

12. La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por extremos los puntos A(–3, –2) y C (1, 2). Halla los vértices B y D y el perímetro del rombo.

Ejercicios Resueltos de la Circunferencia

1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación:    x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .

Solución:   Aplicando completando  trinomios cuadrados perfectos obtenemos:

( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0

Al reducir la expresión obtenemos la ecuación  de la circunferencia                        

( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0

Por tanto, el centro y el radio son:  

C ( 8 , - 1 ) ; a = 0

2. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:

x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 .

SOLUCIÓN

Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:

( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4

De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y        K = 4.

Como a² =4, entonces a = 2.

El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al

centro C.

a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4

Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:

( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16

3. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

SOLUCIÓN

El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:

C (h ,k)

k = 2

h = -2

Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:

radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 ,

por lo tanto, C B ² = 52 = radio

La ecuación de la circunferencia pedida es:

( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52.

4. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

Solución:   Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:

(x + 5)² + (y – 12)² = 169

 x² + y² + 10x – 24y = 0

Si sustituimos x = 0,   y = 0 en la ecuación, esta se verifica.

 Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).

5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia      x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.

SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación:

x = 10 - 2 y

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se

obtiene:

(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0

100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0

5 y² - 40 y + 80 = 0

y² - 8 y + 16 = 0

Resolviendo para y:

Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X:

x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2

De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común T(2,4), que es precisamente el de tangencia.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA

1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.

2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya  ecuación es:           9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia

3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:

4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0.

4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

5. Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones:

 

x² + y² - 2 x + 4 y = 0

x² + y² + 2 x + 6 y = 0

6. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferencia                              x² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto.